数学QUIZ 〜 教養数学 Q1
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2変数関数 f(x,y)が極値を持つ条件についておおまかに考えてみよう。fは,偏微分の順序の交換可能な関数とする。
まず,任意のx,yで2次形式ax2+2bxy+cy2>0となる条件は,
ax2+2bxy+cy2=a(x+(b/a)y)2+((ac−b2)/a)y2
なので,a>0かつ( あ )のときに,2次形式は正になる。
ここで,2変数関数のテーラー展開を考える。点P(x,y)で1次の項が0の時に,点PからΔx,Δyだけずらしたときの fの変化は,
Δf=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
=(1/2!)(fxx(Δx)2+2fxyΔxΔy+fyy(Δy)2)+微小項
なので,2次形式と同様に考えて,fxx>0かつ( い )のときに,関数fは極小値になる。