数学QUIZ 〜 教養数学 Q1

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２変数関数 ｆ（ｘ，ｙ）が極値を持つ条件についておおまかに考えてみよう。ｆは，偏微分の順序の交換可能な関数とする。

まず，任意のｘ，ｙで２次形式aｘ^２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^２＞０となる条件は，
ａｘ^２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^２＝a（ｘ＋（ｂ／ａ）ｙ）^２＋（（ａｃ−ｂ^２）／ａ）ｙ^２
なので，ａ＞０かつ（　あ　）のときに，２次形式は正になる。

ここで，２変数関数のテーラー展開を考える。点P（ｘ，ｙ）で１次の項が０の時に，点PからΔｘ，Δｙだけずらしたときの ｆの変化は，
Δｆ＝ｆ（ｘ＋Δｘ，ｙ＋Δｙ）−ｆ（ｘ，ｙ）
　　＝（１／２！）（ｆ_ｘｘ（Δｘ）^２＋２ｆ_ｘｙΔｘΔｙ＋ｆ_ｙｙ（Δｙ）^２）＋微小項
なので，２次形式と同様に考えて，ｆ_ｘｘ＞０かつ（　い　）のときに，関数ｆは極小値になる。