数学QUIZ 〜 教養数学 Q1

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高校の微積分で習った公式，
『数列 {a_n}がαに，数列 {b_n}がβに収束するとき，
数列 {a_nb_n}も，極限値αβに収束する。』を証明した。以下の空欄を埋めよ。

{a_n}，{b_n}が収束することから，∀ε＞０に対して，
∃Ｎ1；ｎ＞Ｎ1　⇒　｜a_n−α｜＜ε
∃Ｎ2；ｎ＞Ｎ1　⇒　｜b_n−β｜＜ε

Ｎ1，Ｎ2の大きいほうをＮとすると，
ｎ＞Ｎ　⇒　｜a_n−α｜＜ε　かつ　｜b_n−β｜＜ε
従って，ｎ＞Ｎのとき，
｜a_nb_n−αβ｜＝｜a_nb_n−a_nβ＋a_nβ−αβ｜
　　　　　　　　　　＝｜a_n（b_n−β）＋β（a_n−α）｜
　　　　　　　　　　≦｜a_n（b_n−β）｜＋｜β（a_n−α）｜
　　　　　　　　　　＝｜a_n｜｜b_n−β｜＋｜β｜｜a_n−α｜
　　　　　　　　　　＜｜a_n｜（　あ　）＋｜β｜（　あ　）
　　　　　　　　　　＜｜a_n−（い）＋（い）｜（　あ　）＋｜β｜（　あ　）
　　　　　　　　　　≦（｜a_n−（い）｜＋｜（い）｜）（　あ　）＋｜β｜（　あ　）
　　　　　　　　　　＜（ε＋｜（い）｜）（　あ　）＋｜β｜（　あ　）
　　　　　　　　　　＜（ε＋｜（い）｜＋｜β｜）（　あ　）
最後の辺は（　あ　）と共にいくらでも小さくなるので証明される。