図形の最大最小問題 ２
解答
四点をA,B,C,Dとする。
まず、A,Cを固定する
線分ACが図の上下方向になるように、円を回転して差し支えない。
ここで、点AとCを固定し、点BとDを動かして、三角形ABCと三角形ACDの面積が最大にする事を考える。
固定された線分ACを２つの三角形の底辺と見て、点Bと点Dを動かすと、
三角形の面積が最大になるのは、点Bと点Dが、
ACの垂直二等分線（ACの中点を通り、ACに垂直な線）と円との交点にあるときである。
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ACを固定した場合には、点Bと点Dが、ACの垂直２等分線と円との交点にあるときに、面積が最大になります |
ここで、
四角形の面積＝（ACの長さ）×（⊿ABCの高さ）÷２＋（ACの長さ）×（⊿ACDの高さ）÷２
＝（ACの長さ）×（円内のACの垂直二等分線の長さ）÷２
＝（ACの長さ）×（円の直径）÷２
なので、ACのみに拠る事になります。ここでACを動かします。四角形の面積は、
ACが最大のとき、つまりACが円の直径になっているときです。
なお、ACは横方向（線分BDに垂直を保ったまま）に動かして調べるだけでよいです。
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点B,点Cが決定した後にACを動かして、ACが最大になったとき、つまり、ACが直径になっているときに円の面積が最大になります。 |
よって結論は、四角形ABCDが正方形のときに面積は最大になる。